参考路径弧长与车辆轨迹有向弧长的局部换算：交互分析

换算关系

《Frenet 坐标下的车辆运动学》从车辆位置的 Frenet 表示与车辆航向单位向量出发，在式 (3) 中得到参考路径弧长和车辆轨迹有向弧长的局部换算关系

$$\frac{\mathrm d\ell}{\mathrm ds}=\frac{1-d\kappa_r}{\cos\varphi}$$

下文通过不同交互图分别改变航向误差 $\varphi$、横向偏差 $d$ 与参考曲率 $\kappa_r$，观察 $\mathrm d\ell/\mathrm ds$ 的变化趋势。

式中，$s$ 是车辆最近投影点在参考路径上的弧长坐标；$\ell$ 是车辆后轴中心轨迹的有向弧长坐标，沿车辆航向为正；$d$ 是从投影点沿参考路径左单位法向量测得的有符号横向偏差，左侧为正、右侧为负；$\varphi$ 是车辆航向与投影点处参考路径切向之间的航向误差，逆时针为正；$\kappa_r$ 是投影点处参考路径的有符号曲率，左转为正、右转为负。

如何操作交互图

每组关系曲线或曲面都与右侧的局部 Frenet 几何共用同一组参数。把指针移到曲线采样点或曲面网格点上，右侧几何会立即切换到对应状态；触控设备可以点击数据点完成选择。

弧长局部换算关系图采用同一套标记：蓝色曲线或渐变色曲面表示 $\mathrm d\ell/\mathrm ds$，紫色点线或半透明平面表示 $\mathrm d\ell/\mathrm ds=1$，橙色虚线表示 $\cos\varphi=0$，红色边界线表示 $1-d\kappa_r=0$。后文的 $1-d\kappa_r$ 关系图沿用蓝色关系曲线、紫色单位基准线和红色退化边界。右侧几何图中，参考路径正向为 $s$ 增大方向，横向偏差向左为正，车辆航向相对参考路径切向逆时针偏转为正。

右侧几何图以当前投影点为局部原点，用统一长度的线段 $\Delta\ell$ 表示车辆轨迹有向弧长增量，并由 $\Delta s=\cos\varphi\,\Delta\ell/(1-d\kappa_r)$ 确定参考路径弧长增量的大小和方向。$\Delta s<0$ 时，高亮弧段从当前投影点向后绘制。参考曲线只表示投影点处的局部曲率；当 $\kappa_r\ne0$ 且 $|\kappa_r\Delta s|\le\pi/3$ 时完整绘制高亮弧段，超过六分之一圆后才在保持正确方向的前提下截断并显示省略标记，不把密切圆当作完整参考路径重新寻找投影点。$1-d\kappa_r=0$ 时不绘制不存在的有限 $\Delta s$。

“实验条件”中的单值滑块用于固定当前图没有作为坐标轴展示的变量。“绘图窗口”中的双端滑块只调整坐标轴或当前分析量的显示范围，不改变数学关系。需要探索默认边界之外的区域时，可以展开“高级范围设置”；“重置”会恢复当前实验的全部初始参数和显示范围。

单一因素对弧长局部换算关系的影响

航向误差引起的非线性变化

横向偏差引起的线性变化

参考曲率引起的线性变化

两个因素共同变化时的弧长局部换算关系

航向误差与横向偏差的共同影响

航向误差与参考曲率的共同影响

横向偏差与参考曲率的共同影响

横向偏差与投影点曲率半径相对关系变化的影响

$1-d\kappa_r$ 是弧长局部换算关系

$$\frac{\mathrm d\ell}{\mathrm ds}=\frac{1-d\kappa_r}{\cos\varphi}$$

中由横向偏差 $d$ 和投影点参考曲率 $\kappa_r$ 共同决定的部分。在该关系的适用范围内，固定航向误差 $\varphi$ 后，$d$ 与 $\kappa_r$ 对 $\mathrm d\ell/\mathrm ds$ 的影响全部通过这个因子体现。

以下只讨论当前投影点处的局部关系。记该投影点的参考路径弧长坐标为 $s_0$，并简记 $\kappa_r=\kappa_r(s_0)$。当 $\kappa_r\ne0$ 时，记

$$d_c=\frac{1}{\kappa_r}, \qquad R_r=\frac{1}{|\kappa_r|}.$$

$R_r$ 是投影点处密切圆的曲率半径；$d_c$ 是该密切圆圆心沿左单位法向量测量的有符号坐标。曲率中心的位置为 $\boldsymbol r(s_0)+d_c\boldsymbol N(s_0)$，并且

$$1-d\kappa_r=1-\frac{d}{d_c}.$$

因此，真正决定这一因子的是车辆横向偏差 $d$ 相对于曲率中心法向坐标 $d_c$ 的位置关系：

• $d/d_c<0$：车辆与曲率中心位于参考路径两侧，$1-d\kappa_r>1$；
• $0<d/d_c<1$：车辆位于参考路径与曲率中心之间，$0<1-d\kappa_r<1$；
• $d=d_c$：车辆位置与当前投影点的曲率中心重合，$1-d\kappa_r=0$；
• $d/d_c>1$：车辆越过曲率中心，$1-d\kappa_r<0$。

这里的曲率中心只描述参考路径在当前投影点的局部二阶几何，不表示参考路径本身是一段圆弧。下面直接由车辆到参考路径的距离说明 $1-d\kappa_r$ 与最近投影的关系。

固定车辆位置 $\boldsymbol z$，让候选点 $\boldsymbol r(\xi)$ 沿参考路径移动，其中 $\xi$ 是候选点的弧长坐标，$s_0$ 是当前垂足对应的特定坐标。定义

$$q(\xi)=\frac{1}{2}\left\|\boldsymbol z-\boldsymbol r(\xi)\right\|^2.$$

$q(\xi)$ 是车辆到候选点的距离平方乘以 $1/2$；常数 $1/2$ 不改变极值点，只用于简化求导。参考路径以弧长参数化，因此

$$\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm d\xi}=\boldsymbol T, \qquad \frac{\mathrm d\boldsymbol T}{\mathrm d\xi}=\kappa_r(\xi)\boldsymbol N, \qquad \boldsymbol T\mathbin{\cdot}\boldsymbol T=1.$$

保持 $\boldsymbol z$ 不变，对候选坐标 $\xi$ 求一阶导数：

$$\begin{aligned} q'(\xi) &=\frac{1}{2}\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi} \left[ (\boldsymbol z-\boldsymbol r(\xi)) \mathbin{\cdot} (\boldsymbol z-\boldsymbol r(\xi)) \right]\\[0.6em] &=-(\boldsymbol z-\boldsymbol r(\xi))\mathbin{\cdot}\boldsymbol T(\xi). \end{aligned}$$

车辆位置在当前垂足 $s_0$ 处满足

$$\boldsymbol z-\boldsymbol r(s_0)=d\boldsymbol N(s_0).$$

由于 $\boldsymbol N\perp\boldsymbol T$，将 $\xi=s_0$ 代入一阶导数可得

$$q'(s_0) =-d\boldsymbol N(s_0)\mathbin{\cdot}\boldsymbol T(s_0) =0.$$

这只说明 $s_0$ 是距离函数的驻点；要判断它是局部最近点还是局部最远点，还要继续求二阶导数：

$$\begin{aligned} q''(\xi) &=-\frac{\mathrm d}{\mathrm d\xi} \left[ (\boldsymbol z-\boldsymbol r(\xi))\mathbin{\cdot}\boldsymbol T(\xi) \right]\\[0.6em] &=\frac{\mathrm d\boldsymbol r}{\mathrm d\xi}\mathbin{\cdot}\boldsymbol T -(\boldsymbol z-\boldsymbol r)\mathbin{\cdot} \frac{\mathrm d\boldsymbol T}{\mathrm d\xi}\\[0.6em] &=\boldsymbol T\mathbin{\cdot}\boldsymbol T -(\boldsymbol z-\boldsymbol r)\mathbin{\cdot} \kappa_r(\xi)\boldsymbol N. \end{aligned}$$

最后在 $\xi=s_0$ 处代入 $\boldsymbol z-\boldsymbol r(s_0)=d\boldsymbol N(s_0)$、$\boldsymbol T\mathbin{\cdot}\boldsymbol T=1$ 和 $\boldsymbol N\mathbin{\cdot}\boldsymbol N=1$：

$$\left.\frac{\mathrm d^2q}{\mathrm d\xi^2}\right|_{\xi=s_0} =q''(s_0) =1-d\kappa_r.$$

等式中的 $1$ 来自单位切向量的长度 $\boldsymbol T\mathbin{\cdot}\boldsymbol T=1$，$-d\kappa_r$ 来自参考路径切向量随曲率发生的转动。由此可以确定：$1-d\kappa_r>0$ 时，$s_0$ 是距离函数的严格局部极小点；$1-d\kappa_r<0$ 时，$s_0$ 是严格局部极大点，不可能是车辆的最近投影点；$1-d\kappa_r=0$ 时，二阶判别失效，是否仍为局部最近点以及投影是否唯一，不能仅凭当前点的 $d$ 与 $\kappa_r$ 判断。即使 $1-d\kappa_r>0$，它也只保证局部极小，最近投影的全局唯一性仍取决于整条参考路径的几何。

正曲率：曲率中心位于参考路径左侧

当 $\kappa_r>0$ 时，$d_c=R_r>0$，曲率中心位于左单位法向一侧。车辆从参考路径向左接近曲率中心时，$d$ 从 $0$ 增至 $R_r$，$1-d\kappa_r$ 从 $1$ 线性减至 $0$；车辆位于参考路径右侧时 $d<0$，该因子大于 $1$。当 $d>R_r$ 时，该因子为负，当前参考点不可能是车辆的最近投影点，因而这一区域不属于以该点为最近投影建立的 Frenet 坐标状态。

图 7 固定正参考曲率并改变横向偏差，直接比较 $d$ 与当前曲率半径；图 8 固定横向偏差并改变正参考曲率，观察曲率半径及曲率中心位置变化时同一关系如何变化。

负曲率：曲率中心位于参考路径右侧

当 $\kappa_r<0$ 时，$d_c=-R_r<0$，曲率中心位于右单位法向一侧。车辆从参考路径向右接近曲率中心时，$d$ 从 $0$ 减至 $-R_r$，$1-d\kappa_r$ 同样从 $1$ 线性减至 $0$；车辆位于参考路径左侧时 $d>0$，该因子大于 $1$。当 $d<-R_r$ 时，该因子为负，当前参考点同样不可能是车辆的最近投影点，因而这一区域也不属于以该点为最近投影建立的 Frenet 坐标状态。

图 9 固定负参考曲率并改变横向偏差；图 10 固定横向偏差并改变负参考曲率。两图与正曲率实验分析同一关系，但曲率中心位于参考路径右侧。

当 $\kappa_r=0$ 时，投影点处的曲率半径为无穷大，不存在有限的曲率中心，并且对任意 $d$ 都有 $1-d\kappa_r=1$。此时横向偏差不改变弧长局部换算关系中的这一部分，因此无需再单独作图。

来源与延伸阅读

• Frenet 坐标下的车辆运动学：本文换算关系的完整推导、变量定义、最近点投影条件和参考文献来源。
• 平面曲线的有符号 Frenet 标架：本文使用的单位切向量、左单位法向量与有符号曲率约定。